根据中国传统的农历和风水学理论，搬家时选择一个吉日是非常重要的。对于您家的情况，即家中两属龙、孩子属猴，进户门朝东，以及计划在六月份搬家的情况，下面就为您进行具体的吉日分析。
根据民间流传的历法记载和星象测算，对于这样的家庭布局和朝向，六月份的搬家吉日为农历六月初十二十八等日子。其中六月初六被认为是一个非常吉祥的日子，因为“六”在许多地方被视为一个幸运的数字，且这一天阳光明媚，气象条件适宜搬迁。
值得注意的是，除了上述吉日外，还可以根据您家人的八字进行更加精确的筛选。这需要综合每位家庭成员的出生年月日时进行详细推算。在确定吉日的还需注意避开农历中的“四绝”日和“五虚”日等不利的日子。
进户门朝东在风水学上代表新的开始和早晨的生机，是个很好的寓意。不过风水学的选择有时也需要考虑整个家庭的环境布局以及门前的交通等因素。请结合自身实际综合考虑上述各方面因素来决定最终吉日。
六月份的搬家吉日中，农历六月初六是一个不错的选择。但具体日期还需根据家庭成员的八字和整体环境进行综合判断。希望您能顺利地选择一个吉日，开启新的生活篇章。祝您新家幸福美满！